Pour les problèmes de transformation

Les élèves doivent s’approprier les 3 éléments caractéristiques d’une transformation additive. C’est une situation dynamique où une quantité initiale va augmenter ou diminuer au cours du temps (l’événement) et se transformer en une autre quantité (plus ou moins grande) : l’habillage de cette structure sera concrétisé par un camion qui passe dans un garage où a lieu la transformation : un ajout ou un retrait de jetons.

• Le début, un état : la situation initiale, matérialisée par le camion sur le parking vert avec une collection de jetons à transporter.
• L’événement, ce qui change : la transformation matérialisée par le passage du camion dans le garage à transformer où sa charge va augmenter ou diminuer (des jetons peuvent lui être mis ou enlevés).
• La fin, un nouvel état : la situation finale matérialisée par le camion sur le parking rouge avec une nouvelle collection de jetons.

Pour les problèmes de composition

Les élèves doivent s’approprier les 3 éléments caractéristiques d’une composition additive. C’est une situation statique où les éléments « parties » et « tout » sont reliés simultanément, sans déroulement dans le temps : l’habillage de cette structure sera concrétisé par un âne qui transporte des marchandises (jetons) dans ses deux paniers (un bleu et un jaune pour pouvoir les distinguer dans l’énonciation).

• Une partie, matérialisée par un des paniers de l’âne qui transporte une première collection de jetons.
• L’autre partie, matérialisée par l’autre panier de l’âne qui transporte une deuxième collection de jetons.
• Le tout, matérialisé par l’ensemble des 2 paniers réunis avec un cache et l’âne qui transporte alors la réunion des 2 collections de jetons.

Pour les problèmes de comparaison

Les élèves doivent s’approprier les 3 éléments caractéristiques d’une composition additive. C’est une situation statique où il y a deux états distincts reliés par une comparaison de type « en plus » ou « en moins » : l’habillage de cette structure sera concrétisé par 2 immeubles dont les bases sont alignées et dont on compare le nombre d’étages.

• Un immeuble A d’une certaine hauteur (avec un nombre d’étages).
• Un immeuble B d’une autre hauteur (avec aussi un nombre d’étages).
• Une relation entre les deux hauteurs de A et B (entre les nombres d’étages) : il y a plus ou moins d’étages dans l’immeuble A que dans l’immeuble B, combien en moins ou combien en plus.

Pour les problèmes de partages et de groupements

Les élèves doivent s’approprier les caractéristiques d’une situation multiplicative : cette structure est concrétisée par des coffres à trésors (pierres précieuses ou autres collections) et des pirates qui vont se partager ou grouper leurs trésors.

Les ACP et la construction du nombre

L’objectif principal du travail mathématique en CE1 est de poursuivre la construction du nombre entier naturel. Ce travail est réparti tout au long de l’année : le nombre pour représenter une quantité, la numération de position, l’extension du champ numérique, le calcul, le calcul mental, les opérations, sont autant d’apprentissages spécifiques qui nécessitent un travail étalé dans le temps, spiralaire et rigoureux.
Ce n’est pas l’objet des ACP que de découvrir des nombres qui n’ont pas encore été étudiés en classe. Par exemple dans les 6 ACP du module 1 où l’objet est de travailler les transformations additives, les nombres en jeu et les calculs sont simples afin que les connaissances numériques nécessaires ne soient pas un obstacle à la compréhension des problèmes proposés.
Cependant, c’est au travers de la résolution de problèmes et de son utilisation dans les problèmes que le nombre prend tout son sens : c’est cette stratégie pédagogique que nous proposons dans les ACP (voir les choix didactiques des ACP de CE1).
D’autre part, les élèves ne progressant pas tous à la même vitesse, la taille des nombres peut être une variable de différenciation. On proposera dans la plupart des ACP, suivant les groupes de besoins des élèves, des problèmes de structure identique mais avec des nombres en jeu plus ou moins grands.

Enfin, pour entrainer et mesurer le degré d’acquisition des connaissances numériques de ses élèves, l’enseignant pourra tout au long de l’année, utiliser les Activités Entrainement Individualisé (ou AEI) du site Roma ou d’autres supports.

Les ACP et le sens des opérations

C’est la résolution de problèmes qui donne leur signification à toutes les connaissances mathématiques et donc en particulier aux connaissances numériques comme les opérations élémentaires. Ainsi, les opérations sont introduites par la résolution de problèmes et les situations relevant de l’addition et de la soustraction sont travaillées de manière quasi simultanée ; il en est de même des situations relevant de la multiplication et de la division.

En variant les situations, l’élève pourra dépasser ses conceptions premières et se détacher d’un focus trop exclusif sur les nombres en cherchant à reconnaitre une structure, c’est-à-dire un modèle, qui généralise les situations de type additif par exemple ou de type multiplicatif. Ce n’est que progressivement que ce modèle sera transcrit avec des écritures mathématiques utilisant les signes « + , - , x , : et = ».

Les ACP et le calcul

Calculer c’est mettre en relation des quantités autrement que par une action physique sur les collections. Par exemple, additionner c’est passer progressivement de la réunion et au comptage des objets, à la récupération directe du résultat en mémoire en utilisant des règles de calcul : il y a donc toute une progression à suivre pour quitter petit à petit le recours aux collections en remplaçant les objets par des représentations numériques. Ce travail fait partie de la construction du nombre travaillée en classe dans toutes les activités mathématiques et autres.
Les ateliers des ACP sont l’occasion pour les élèves de réinvestir ce qu’ils ont appris en classe sans pour autant constituer un obstacle supplémentaire dans la compréhension des énoncés : c’est pourquoi dans les ACP, les compétences en calcul se limiteront à celles que les élèves maitrisent par ailleurs. Cependant, au cours des séances d’ACP et de résolution de problèmes, il est essentiel d’inciter fortement les élèves à utiliser le calcul (principalement le calcul mental) plutôt que le comptage (et l’utilisation de la file numérique).

Pour résumer, voici un tableau qui détaille les compétences numériques mobilisées dans l’ensemble des 5 modules du CE1.

Modules

Compétences numériques mobilisées dans les modules

• Connaitre les nombres jusqu’à 40.
• Numération : utiliser des groupements par 10.

• Connaitre les nombres jusqu’à 70.
• Numération : utiliser des groupements par 10.
• Calcul : traduire mathématiquement le problème par une écriture où le nombre recherché s’écrit avec un point d’interrogation : 14 + 26 = ?
  Nombre-réponse => ? = 40 car 14 + 26 = 40

• Connaitre les nombres jusqu’à 100.
• Numération : utiliser des groupements par 10.
• Calcul : introduire les écritures additives et soustractives dans les différentes situations comme :
  14 + 6 = ? ou 20 - 6 = ? ou 20 - ? = 14 ou 14 + ? = 20

• Utiliser des nombres inférieurs à 30 avec un écart inférieur à 10.
• Numération : utiliser des groupements par 10.
• Calcul : introduire les écritures mathématiques avec les points ?

• Connaitre les nombres inférieurs ou égaux à 100.
• Calcul : utiliser les tables de multiplication par 2 ou 3 ou 4 ou 5.
• Introduire les écritures de type : 4 x 5 = ? ou 4 x ? = 20

Module 1

• Passer d’un texte lu à un schéma (dans des contextes de camions ou des contextes variés)
  - Diversifier les termes qui indiquent qu’il y a une transformation :
  => Verbes d’actions (gagner/perdre, avancer/reculer, augmenter/diminuer etc.).
  => Indicateurs temporels puisqu’il y a évolution au cours du temps : au départ/à l’arrivée, avant/après, au début/ à la fin, maintenant etc. ainsi que les temps des verbes.
  - Repérer la place du point d’interrogation : soit dans le camion à l’arrivée ou dans le garage ou dans le camion au départ.
• Passer du schéma à un énoncé oral avec un travail spécifique les questions (4 types : Combien il y avait de bouchons au début ? - Combien il y a de bouchons à la fin ? - Combien a-t-on ajouté de bouchons ? - Combien a-t-on enlevé de bouchons ? etc.)
• Passer d’un texte à une écriture mathématique (par l’intermédiaire d’un schéma)

Module 2

• Passer d’un texte lu à un schéma (dans des contextes d’ânes ou des contextes variés)
  - Reconnaitre un problème : Est-ce une histoire ou est-ce un problème ?
  - Représenter la situation des ânes avec un schéma.
  - Repérer la place du point d’interrogation : dans la boite du tout ou dans une des deux boites jaune ou bleue.
• Énoncer à l’oral une question : Sur quoi porte la question ? une partie ou le tout ?
• Passer d’un texte à une écriture mathématique (par l’intermédiaire d’un schéma).

Module 3

• Passer d’un énoncé oral à un schéma et réciproquement.
• Passer d’un énoncé oral à une écriture mathématique par l’intermédiaire d’un schéma.
  - Associer des textes de problèmes et des écritures mathématiques (additives ou soustractives) à partir de schémas dans les différents cas
  => Recherche d’un tout ou d’une partie.
  => Recherche du début, de l’action ou de la fin dans une transformation positive.
  => Recherche de la fin ou de l’action dans une transformation négative.
  - Donner la réponse à la question

Module 4

• Comprendre et utiliser le vocabulaire « n de plus que » « n de moins que ».
• Identifier les places respectives du référé et du référent et du rôle de leur inversion.
• Construire la notion d’écart : définir ce sur quoi porte la question
  => le référé,
  => le référent,
  => l’écart.
• Passer d’un énoncé verbal de comparaison à un schéma. (Contexte des immeubles ou des contextes variés).
• Schématiser des problèmes variés, traduire par une écriture mathématique un problème et donner la réponse à la question.

Module 5

• Utiliser le matériel des pirates et des trésors dans des situations multiplicatives.
• Comprendre et utiliser les expressions autant que, chaque, chacun, distribuer, partager, équitable…
• Décrire une situation de partage équitable en utilisant des expressions comme « chaque », ou « chacun ».
• Exprimer une question sur le nombre de parts ou sur la valeur d’une part.
• Décrire et représenter un problème de groupement
• Formuler questions et réponses dans des problèmes de partage et de groupement.
• Traduire des problèmes de groupements et de partages avec un schéma puis avec une écriture mathématique.

Etape 1

Appropriation des énoncés et de la consigne

5 min environ

Etape individuelle

• L’enseignant lit à haute voix le problème et énonce une consigne.
• Les élèves prennent connaissance individuellement du problème.
• Les élèves cherchent à répondre seuls à la consigne en utilisant le matériel.

Etape 2

Début d’interprétation par 2 ou en îlots

5 min environ

Etape orale collective

Les élèves manipulent et commencent à faire des hypothèses de sens à plusieurs et à confronter leurs points de vue : attention, s’il leur est proposé une fiche-élève, ils ne la remplissent pas à cette étape ; ils travaillent sur ardoise ou papier de brouillon ou sur une affiche remplie en groupe.

Etape 3

Confrontation des diverses interprétations, échanges et débat

15 min environ

Etape orale collective

L’enseignant recueille les différentes hypothèses des élèves (toutes les hypothèses sont acceptées oralement ou à partir de la présentation des affiches) et note :

• sur une partie du tableau les hypothèses qui recueillent d’emblée l’accord de tous.
• sur une autre partie du tableau celles qui sont discutables et donc qui nourrissent le débat.
• L’argumentation joue un rôle important : les élèves doivent argumenter leurs choix en s’appuyant sur les données du problème.
• La résolution est ainsi effectuée collectivement : ensuite, l’enseignant prendra bien soin de formaliser les résultats à l’issue du débat. C’est l’étape d’institutionnalisation habituelle.

Etape 4

5 min environ

Etape individuelle

Les élèves doivent se réapproprier la situation et résoudre le problème individuellement : si une fiche-élève a été donnée en début d’atelier, ils la remplissent à ce moment-là ou ils utilisent un autre support choisi par l’enseignant (cahier, feuille de classeur…).

Etape d’entraînement

10 min par jour

Etape orale collective

L’enseignant propose quotidiennement, au moins 2 problèmes à résoudre pour stabiliser ce qui a été appris au cours de l’atelier précédent.

MODULE 1 : TRANSFORMATIONS (matériel les camions)

ACP1-camions1 : Rechercher l’état final dans un problème de transformation

ACP2-camions2 : Rechercher l’état final dans un problème de transformation dans des contextes variés

ACP3-camions3 : Rechercher l’événement dans un problème de transformation

ACP4-camions4 : Rechercher l’état initial dans un problème de transformation

ACP5-camions5 : Différencier les divers problèmes de transformation

ACP6-camions6 : Utiliser les écritures mathématiques pour résoudre un problème de transformation

MODULE 2 : COMPOSITIONS (matériel les ânes)

ACP7-ânes1 : rechercher le tout

ACP8-ânes2 : rechercher le tout et traduire la situation avec des écritures mathématiques

ACP9-ânes3 : rechercher une partie

ACP10-ânes4 : rechercher une partie et traduire la situation avec des écritures mathématiques

ACP11-ânes5 : rechercher le tout ou une partie

ACP12-ânes6 : utiliser les écritures mathématiques pour résoudre un problème de composition

MODULE 3 : APPROFONDISSEMENT : problèmes mixtes de compositions ou de transformations (matériel les camions et les ânes)

ACP13-mixte1 : catégoriser des problèmes additifs

ACP14-mixte2 : associer problèmes oraux de composition ou de transformation, schémas et écritures additives

ACP15-mixte3 : commencer à utiliser des écritures soustractives

ACP16-mixte4 : continuer à utiliser des écritures soustractives

ACP17-mixte5 : reconnaitre l’équivalence de certaines écritures mathématiques dans des problèmes de composition ou de transformation

MODULE 4 : COMPARAISONS ADDITIVES (matériel les immeubles)

ACP18-immeubles1 : découvrir et utiliser le matériel des immeubles dans des problèmes de comparaison

ACP19-immeubles2 : connaitre la réversibilité des comparaisons

ACP20-immeubles3 : rechercher l’écart

ACP21-immeubles4 : représenter un problème de comparaison additive par un schéma

ACP22-immeubles5 : schématiser des problèmes de comparaison dans des contextes variés

MODULE 5 : PARTAGES, REPETITIONS ET GROUPEMENTS (matériel les pirates)

ACP23-pirates 1 : rechercher des problèmes de partages dans le contexte des pirates

ACP24-pirates 2 : rechercher des problèmes de partages dans des contextes variés

ACP25-pirates 3 : rechercher des problèmes de répétitions et de groupements dans contexte des pirates

ACP26-pirates 4 : rechercher des problèmes de partages et de groupements dans des contextes variés

ACP27-pirates 5 : schématiser des problèmes de partages, de répétition et de groupements dans des contextes variés